 |
 |
 |
 |
 |
|
|
|
|
|
Hier findest Du verschiedene Beweise zum Satz des Pythagoras, sowohl über Berechnungen, einfache Zeichnungen aber auch mit interaktiven JAVA-Applet. Außerdem sind Links zu anderen (teils englischen) Internetseiten mit weiteren Beweisen aufgeführt.
Ziel des Beweises ist es, zu zeigen, dass der Satz des Pythagoras für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt. Das unten abgebildete Dreieck (Abb. 1) könnte jedes beliebige rechtwinklige Dreieck sein, da die Seitenlängen als Variablen nicht bestimmt sind.
|
|
Auf Abbildung 2 sind vier identische rechtwinklige Dreiecke abgebildet, die zusammen mit einem gekippten kleineren Quadrat ein großes Quadrat ergeben. Die Fläche dieses großen Quadrats ist der Schlüssel zum Beweis.
Die Fläche des großen Dreiecks kann nämlich auf zwei verschiedene Weisen berechnet werden:
Methode 1:
Messe die gesamte Fläche des großen Quadrats. Die Länge jeder
Seite ist x + y. Daher ist die Fläche des großen
Quadrats: Agroßes Quadrat
= (x + y)².
Methode 2:
Messe die Fläche jedes Elements des großen Quadrats. Die
Fläche der Dreiecke beträgt jeweils ADreieck
= 
· x
· y (d.h.
· Grundlinie · Höhe). Die Fläche
des gekippten Quadrats ist einfach Agekipptes
Quadrat = z². Daraus folgt nun für die
Fläche des großen Quadrats:
Fläche des großen Quadrats = 4 · (Fläche jedes Dreiecks) + Fläche des gekippten Quadrats
nach unserer vorherigen Definition also:
Agroßes Quadrat = 4 · ADreieck + Agekipptes Quadrat = 4 · (
Die Methoden 1 und 2 ergeben nun zwei verschiedene Ausdrücke. Diese Ausdrücke müssen jedoch gleichwertig sein, da sie sich auf dieselbe Fläche beziehen. Deshalb muss gelten:
Fläche aus Methode 1 = Fläche aus Methode 2 (x + y)² = 4 · (
Wir können die Klammern auf beiden Seiten auflösen und die Ausdrücke vereinfachen. Dann ergibt sich:
x² + y² + 2 · x · y = 2 · x · y + z² | - 2 · x · y x² + y² = z²
q.e.d.
Noch einmal zusammengefaßt beruht dieser Beweis auf der Tatsache, dass die Fläche des großen Quadrats, mit welcher Methode man sie auch berechnen mag, immer dieselbe bleiben muss. Wir erzeugen also auf logisch korrekte Weise zwei verschiedene Ausdrücke für dieselbe Fläche, setzen diese dann gleich und gelangen zur unvermeidlichen Schlussfolgerung, dass die Gleichung x² + y² = z² stimmt. Das Quadrat über der Hypotenuse, z², ist gleich der Summe der Quadrate über den beiden anderen Seiten (Ankathete und Gegenkathete), x² + y².
Dieses Argument gilt für alle rechtwinkligen Dreiecke. Die Seiten des Dreiecks aus unserem Beispiel werden durch x, y und z bezeichnet und können daher die Seiten jedes beliebigen rechtwinkligen Dreiecks darstellen.
aus: S. Singh, Fermats letzter Satz, S.343f
Hier nun noch ein besonders einfacher Beweis, der zudem alle Sätze der Satzgruppe auf einmal liefert und auf der Ähnlichkeitslehre aufbaut.
| Wir betrachten ein rechtwinkliges
Dreieck ABC (Abb. 3) mit Die (bekannten) Winkelberechnung im
rechtwinkligen Dreieck ergibt, dass die Höhe |
Abb. 3 |
Aus der Anwendung dieser Ähnlickeitsbeziehungen erhält man dann im einzelnen:
Addieren wir die beiden letzten Gleichungen, so erhalten wir:
a² + b² = cp + cq = c (p+q) = cc = c² => a² + b² = c² (Satz des Pythagoras)
Umgekehrt kann man aus der "pythagoreischen Eigenschaft" die Rechtwinkligkeit eines Dreiecks folgern:
Kehrsatz des
Pythagoras:
| Vorraussetzung: In einem Dreieck ABC (Abb. 4) gilt:
Behauptung: Dann ist bei C ein rechter Winkel. |
Abb. 4 |
Beweis: Wir konstruieren ein rechtwinkliges Dreieck A´B´C´ mit den Kathetenlängen a und b. Die Hypotenusenlänge dieses Dreiecks sei (zunächst) x (Abb. 5). Nach dem Satz des Pythagoras gilt dann für A´B´C´:
|
Abb. 5 |
Nach Vorraussetzung ist aber a² + b² = c². Folglich ist x = c.
Nach dem Kongruenzsatz SSS sind die Dreiecke ABC und A´B´C kongruent, stimmen daher in allen entsprechenden Stücken, also auch im rechten Winkel bei C überein. Dreieck ABC muss also rechtwinklig sein, was zu beweisen war.
aus: C.Penßel, H.-J. Penßel, D.Roth, Basismathematik 9 Geometrie, S.175f
Hier wird eine Zerlegung der Kathetenquadrate und des Hypotenusenquadrates vorgestellt, die unmittelbar den Satz des Pythagoras, formuliert als Flächensatz, einsichtig macht (Abb. 6). Es ist bemerkenswert, dass entsprechende Figurenteile nicht nur kongruent, sondern auch "parallel gelagert" sind (d.h. man erhält die einen aus den anderen durch eine Parallelverschiebung). Der auf dieser Zerlegung beruhende "Beweis" stammt von Perigal (1830), der über seinen Beweis so begeistert war, dass er diese ästhetische Figur auf seine Visitenkarten drucken ließ. Ein Fortschritt gegenüber Pythagoras, der aus Dankbarkeit für die Entdeckung seines Lehrsatzes den Göttern 100 Ochsen geopfert haben soll! Allerdings sei abschließend noch zu bemerken, dass diese Figur keine Beweis im eigentlichen Sinn der Mathematik ist, da man hier zwar sieht und (richtigerweise) vermutet, dass die obigen Aussagen stimmen, man aber nicht auf schon bewiesenen oder fundamentalen Sätzen aufbauen kann, die einen wirklichen, eindeutigen Beweis liefern könnten. |
Abb. 6 |
aus: C.Penßel, H.-J. Penßel, D.Roth, Basismathematik 9 Geometrie, S.176
Nun noch ein interaktiver Beweis im JAVA Format, der noch einmal besonders anschaulich den Satz des Pythgoras bestätigt. Mit den Schaltflächen Next, Last, Restart läßt sich der Beweisvorgang steuern:
Dieses Applet wurde ursprünglich von Jim Morey (morey@math.ubc.ca) anlässlich eines Wettbewerbs, der von Sun ausgeschrieben worden war, erstellt. Ins Deutsche wurde der Text von der Uni Würzburg übersetzt (mm-physik). ! Evtl. muss der Sicherheitsgrad des Browser geändert werden, damit das Applet ausgeführt werden kann. (siehe Hilfe). ! |
Beschr. (*) |
Addresse & Titel (alle Ende Januar '99 überprüft) |
Kommentar |
  |
http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/java/m308/pythagorasshear.html Proofs of Pythagoras' Theorem using shears |
kurze Seite, die [P] mit Scherung beweist |
|
http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/java/m308/babylon.html The oldest known proof |
alter babylonischer Beweis |
+ |
http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/java/m308/pythagorasdissection.html Proofs of Pythagoras' Theorem using translations |
6 verschiedene Beweise über Translation |
+ |
http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/java/m308/eves.html A proof suggested by Pappus' Theorem |
Beweis mit JAVA-Applet mit Hilfe kongruenter Flächen |
|
http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/java/m308/pythagorassimilarity.html Proofs of Pythagoras' Theorem using similarity |
auf Ähnichkeit aufbauender Beweis |
|
http://www.astro.virginia.edu/~eww6n/math/PythagoreanTheorem.html Pythagorean Theorem |
verschiedene mit Bildern erläuterte Beweise |
|
http://coco.ihi.ku.dk/~dbwagner/Pythagoras/Pythagoras.html A proof of the Pythagorean Theorem by Liu Hui (third century AD) |
historischer Beweis mit Bild |
|
http://www.perseus.tufts.edu/GreekScience/Students/Tim/Pythag'sTheorem.html The Pythagorean Theorem |
Beweis mit Bild |
|
http://romberg-211.imf.unit.no/~hanche/pythagoras/ Pythagoras' Theorem |
kurzer Beweis mit Bild und Links |
 + |
http://jwilson.coe.uga.edu/emt669/Student.Folders/Morris.Stephanie/... .../EMT.669/Essay.1/Pythagorean.html The Pythagorean Theorem |
mehrere Beweise mit ausführlicher bebilderter Erklärung |
++ |
http://www.cut-the-knot.com/pythagoras/index.html 22# Proofs of Pythagorean Theorem |
22 (!) verschiedene Beweise |
|
http://did.mat.uni-bayreuth.de/seminar/hypermed1/klarner/seite.htm Die Satzgruppe des Pythagoras |
Formulierung und versch. Beweise der Sätze, Beispielrechenaufgabe, Historisches |
|
http://didaktik.physik.uni-wuerzburg.de/~pkrahmer/java/pythago/pythago.html Pythagoras' Heaven - in deutsch |
interaktiver JAVA Beweis |
|
http://www.ies.co.jp/math/java/pitha1/pitha1.html Pythagoras Theorem (1) oder http://www.frontiernet.net/~imaging/pythagorean.html |
JAVA-Applet, mit dem man den Beweis selbst führen kann |
|
http://www.ies.co.jp/math/java/pytha2/pytha2.html Pythagorean Theorem oder http://www.frontiernet.net/~imaging/pythagorean.html |
JAVA-Applet, mit dem man den Beweis selbst führen kann |
|
http://www.cinderella.de/Demo/Book/PythagorasProof.html Cinderellas Café -- Demo-Version |
Beweis mit JAVA-Applet |
|
http://www.cinderella.de/Demo/Book/PythagorasMove.html Cinderellas Café -- Demo-Version |
JAVA-Applet, mit dem man den Beweis selbst nachvollziehen kann |
| (*) Erläuterungen: |
|
(c) 1998,99 by Stephan Sigwart
Inhalt:
Abb. 1
Abb. 2
den rechten Winkel bei C in zwei
Teilwinkel 
und 
zerlegt. Nach dem
Ähnlichkeitssatz "WW" gilt also, dass die zwei
Teildreiecke unter sich und zum ganzen Dreieck ähnlich
sind:
